[10971] python : 외판원 순회 2

 

https://www.acmicpc.net/problem/10971

10971번: 외판원 순회 2

 

문제

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 10) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

출력

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

예제 입력 1 

4
0 10 15 20
5 0 9 10
6 13 0 12
8 8 9 0

예제 출력 1 

35

 

 

풀이

외판원 순회 문제는 나름 유명한 문제이다. 대표적인 NP-Complete 이면서 NP-Hard인 문제이다. 

이 문제는 4가지의 접근 법이 있다. 

1. 완전탐색 : 가능한 모든 경로를 생성하여 최단 경로를 찾는 방식
2. 동적 프로그래밍 : 부분 문제를 해결하여 전체 문제를 해결하는 방식
3. 근사 알고리즘 : 최적해가 아닌, 근사한 해를 찾는 알고리즘
4. 메타휴리스틱 알고리즘 : 일반적인 최적화 전략을 사용하여 근사한 해를 찾는 알고리즘.

 

시간 제한이 2초로 넉넉한 편이기 때문에 동적 프로그래밍(DP)를 이용해 해결해보겠다. 

위처럼 도시가 연결되어 있으며, W[i][j]는 i에서 j로 가는 비용을 의미한다.

 

0번에서 출발한다고 생각해보자.

그러면 갈 수 있는 곳은 3가지이다. 그리고 그 3가지에서도 각각 2개의 장소로 갈 수 있다.

그리고 남은 곳을 간 뒤 0으로 돌아가는 모습은 아래와 같다.

모든 경우의 수에서 올라오면서 최솟값을 계산한다.

빨간 색의 값들이 맨 아래쪽의 값들이 된다. ( 재귀의 가장 아랫부분이다. )

 

(초록색 부분) 아까 전에 구했던 붉은 색 지점과 그 위 지점의 cost 를 더해서 주황 값을 구한다. 
제일 왼쪽 20을 살펴보면 2 -> 3 -> 0 의 방문 값이고, 15는 3-> 2 -> 0의 방문 값이다.

 

0에서 뻗어나가는 첫번째 1을 보자. 두 갈래 길이 있기 때문에 두 개의 최솟값을 취하면 된다. 1-> 2 -> 3 -> 0 은 26, 1 -> 3 -> 2 -> 0 은 25가 나와서 최솟값인 25가 저장된다.

위의 방식으로 나머지도 다 채우면 정답인 35가 나오게 된다.

귀찮아서 그림판으로 그리다 보니 설명이 부실한데 아래 영상에서 잘 설명해주시니 참고하길 바란다.

https://www.youtube.com/watch?v=XaXsJJh-Q5Y 

 

그럼 이걸 어떻게 점화식으로 바꿀까?

제일 꼭대기는 아래의 식처럼 표현할 수 있다. 

g(0, {1, 2, 3}) =min{ C_0k + g(k, {1,2,3} - {k} )

이를 일반항으로 나타내면 아래와 같이 된다.

g(i, S) = min { C_ik + g(k, S - {k}) }

 

이 일반항을 적용해 만든 코드는 아래와 같다.

import sys
sys.setrecursionlimit(10**6)

# input
N = int(input())
W = []
MAX = sys.maxsize

for _ in range(N):
    W.append(list(map(int, input().split())))


def dfs(k, S):
    if len(S) == 0:
        if W[k][0] == 0: # 0은 길이 끊겨있는 경우
            return MAX
        return W[k][0]
    minv = MAX
    for x in S:
        if W[k][x] == 0:
            continue
        r = S.copy()
        r.remove(x) # S - {k}
        minv = min(minv, dfs(x,r) + W[k][x])
    return minv

S = [x for x in range(N)]
S.remove(0)
print(dfs(0, S))

이 문제를 풀면서 '0이면 길을 갈 수 없는 경우'를 처리해주지 못해서 계속 오답이 나왔었고 실제로 질문 게시판을 보면 많은 사람들의 오답 사유기도 한 것 같다. 문제를 풀 때 조심하길 바란다.